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Questão de Matemática do ENEM 2020: A quantidade de maneiras distintas de criar uma nova senha para esse cliente é dada…
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Um cliente de um banco, acostumado a realizar a maioria das operações em sua conta-corrente pela internet, foi surpreendido com o bloqueio de sua senha de acesso. Chegando à sua agência, um funcionário lhe informou que esse bloqueio foi feito pelo sistema do banco como forma de proteção à conta-corrente do cliente, pois alguém tentou invadi-la virtualmente.
Para resolver o problema, o funcionário cadastrará uma senha, diferente da anterior, que deve ser criada pelo cliente, seguindo as regras usuais estipuladas por esse banco: ela deve ter 8 dígitos, usando somente algarismos de 0 a 9, de modo que o primeiro dígito deve ser diferente de 0.
A quantidade de maneiras distintas de criar uma nova senha para esse cliente é dada por
Abre parêntese,10 elevado a 8, fecha parêntese, menos 1.
Abre parêntese, fração de numerador 10 fatorial e denominador 2 fatorial, fecha parêntese, menos 1.
Abre parêntese, fração de numerador 10 fatorial e denominador abre parêntese 2 fatorial vezes 8 fatorial fecha parêntese, fecha parêntese, menos 1.
9 vezes, abre parêntese, fração de numerador 9 fatorial e denominador 2 fatorial, fecha parêntese, menos 1.
9 vezes, abre parêntese, 10 elevado a 7, fecha parêntese, menos 1.
Como a senha tem 8 dígitos e o primeiro não pode ser 0, há 9 opções para o primeiro dígito (1 a 9). Para cada um dos 7 dígitos restantes, há 10 opções (0 a 9), então o total possível seguindo a regra é 9⋅107. Como a nova senha deve ser diferente da anterior, devemos excluir a única senha igual à antiga. Assim, a quantidade é 9⋅107−1.
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