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Questão de Matemática do ENEM 2013: Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o…
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Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Descrição da imagem (gerado por IA)
Diagrama com quatro círculos contendo letras, dispostos em forma de losango: A no topo, B à direita, C na parte de baixo e D à esquerda. Linhas retas ligam A a B, A a D, B a C e D a C, formando o losango. Não há ligação direta entre A e C nem entre B e D.
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
A B C D
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
Como o losango não é quadrado, suas simetrias são apenas a rotação de 180∘ e as reflexões nas duas diagonais; assim, disposições que coincidem após essas transformações representam a mesma joia. Com três cores, há dois tipos de joia possível. No primeiro tipo, usam-se só duas cores, alternadas: os vértices opostos têm a mesma cor. Escolhe-se a cor de um par de vértices opostos (3 opções) e a cor do outro par (2 opções), resultando em 3⋅2=6 joias. No segundo tipo, usam-se as três cores: uma cor ocupa um par de vértices opostos e as outras duas ocupam o outro par. Escolhe-se a cor repetida (3 opções) e o par de vértices opostos onde ela fica (2 opções: A-C ou B-D). As duas cores restantes vão para os dois vértices do outro par, mas trocá-las entre si é apenas uma reflexão na diagonal do par repetido, gerando a mesma joia; portanto, há 3⋅2=6 joias desse tipo. No total, obtém-se 6+6=12 joias diferentes.
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