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Questão de Matemática do ENEM 2018: Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o…
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Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de 6π rad, conforme a figura.
Descrição da imagem (gerado por IA)
Sistema de coordenadas polares sobreposto a eixos cartesianos x e y numerados de −6 a 6, com circunferências tracejadas concêntricas de raio 1 a 6 e raios tracejados que dividem o plano em ângulos iguais. Dois pontos estão marcados: A no segundo quadrante, aproximadamente em (−5, 3), e B no primeiro quadrante, aproximadamente em (3, 2).
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
y x A B −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0 ; 0).
Considere o valor de π com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.
Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a
Na figura, o ponto B está na circunferência de raio 4 e na semirreta de ângulo 6π; o ponto A está na circunferência de raio 6 e na semirreta de ângulo 65π. Como não se pode passar pela origem, o menor raio que pode ser usado para trocar de direção é 1, pois é o menor raio natural da malha. Assim, o percurso mais curto é: ir de B radialmente até o raio 1, percorrendo 4−1=3; andar ao longo da circunferência de raio 1 entre as direções 6π e 65π, cujo ângulo central é Δθ=65π−6π=32π, com comprimento 1⋅32π=32π; e subir radialmente até o raio 6, percorrendo 6−1=5. A distância total é 3+5+32π=8+32⋅π⋅1.
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