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Questão de Matemática do ENEM 2011: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo $\alpha = 30^\circ$ e, ao chegar ao…
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Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
Descrição da imagem (gerado por IA)
Figura geométrica formada por três pontos: A e B estão sobre uma linha horizontal, e P está acima dessa linha, ligado a A e a B por dois segmentos. No vértice A está marcado o ângulo α entre o segmento AP e a horizontal; no vértice B está marcado o ângulo 2α entre o segmento BP e a horizontal, que se estende para a direita com uma seta. Ao lado da seta está escrito "Trajetória do barco".
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
P A B α 2α Trajetória do barco
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α=30∘ e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
Como o ângulo visual em B é 2α=60∘ e é medido em relação à direção da trajetória, o ângulo interno do triângulo ABP no vértice B é 180∘−60∘=120∘. Assim, no triângulo ABP, os ângulos em A e P são ambos 30∘, pois 180∘−120∘−30∘=30∘. Logo, os lados opostos a esses ângulos são iguais: BP=AB=2000 m. A menor distância do barco ao ponto P, mantendo a trajetória retilínea, é a distância perpendicular de P à reta da trajetória. No triângulo retângulo formado, essa distância é BP⋅sin60∘=2000⋅23=10003 m.
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