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Questão de Matemática do ENEM 2012 PPL: O raio $y$ da base dessas canecas deve ser tal que $y^2$ seja, no mínimo, igual a
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Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm; • copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
Vtronco de cone=3πh(R2+r2+Rr)
Fonte: ENEM 2012
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja, no mínimo, igual a
A caneca cilíndrica substitui os dois copos, então seu volume deve ser pelo menos igual ao maior volume entre café e água. Calculando o copo grande (água): Vaˊgua=3π⋅8(3,62+2,42+3,6⋅2,4)=38π(12,96+5,76+8,64)=72,96π cm3. O copo pequeno tem volume 15,984π cm3, menor, então a condição decisiva vem do copo grande. A caneca tem volume Vcaneca=πy2⋅6=6πy2. Para que ela comporte o volume de água, exige-se 6πy2≥72,96π, donde y2≥672,96=12,16. Logo, o valor mínimo de y2 é 12,16, correspondente à.
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