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Questão de Matemática do ENEM 2011 PPL: A relação entre (X) e (Y) é
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A torre de Hanói é um jogo que tem o objetivo de mover todos os discos de uma haste para outra, utilizando o menor número possível de movimento, respeitando-se as regras.
Descrição da imagem (gerado por IA)
Diagrama da Torre de Hanói visto de frente. Uma base horizontal recebe três hastes verticais identificadas como A, B e C. Na haste A estão empilhados cinco discos de tamanhos decrescentes de baixo para cima, numerados de 1 (maior, embaixo) a 5 (menor, no topo). As hastes B e C estão vazias. À esquerda, a indicação de "Peças" aponta para os discos e "Casas" aponta para as hastes.
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
Peças Casas 1 2 3 4 5 A B C
As regras são: 1- um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor; 2- pode-se mover um único disco por vez; 3- um disco deve estar sempre em uma das três hastes ou em movimento.
Na tabela, para X peças, o número mínimo de movimentos é Y = 1, 3, 7 e 15. Esses valores podem ser escritos como 21−1, 22−1, 23−1 e 24−1, isto é, cada um é uma potência de 2 menos 1. Isso também vem do próprio jogo: para mover X discos, move-se primeiro a pilha de X−1 discos para uma haste auxiliar, depois o disco maior e, por fim, os X−1 discos sobre ele; então YX=2YX−1+1, começando com Y1=1, cuja solução é Y=2X−1.
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